1
$\begingroup$

I have been trying to integrate a function AND get an output that is sufficiently simple as to be usable. Simply using the Simplify and FullSimplify commands has not done nearly enough, and it takes me over 2 hours to get a result from this integration. Are there any further tricks I can use to force further simplifications? Any assumptions I can put in to make it simpler or faster? Maybe get more than one core involved (I have other similar integrals I need to do too so even if I can just set them all running at once on different cores that would be an improvement)?

Be warned, the example output is stupidly long, so much so that it is impossible to read, much less manually simplify.

Input (ai, bi, ci, and di are unit vectors, and so will be replaced with the appropriate cosine later. ki has a value but is still kept track of so the proper cosine can be used later. The cosines are independent of the integration, so it makes it marginally easier to read this way):

r = {r1, r2, r3};
a = {a1, a2, a3}/σa;
b = {b1, b2, b3}/σb;
c = {c1, c2, c3}/σc;
d = {d1, d2, d3}/σd;
k = {k1, k2, k3};
S = {{S11, S12, S13}, {S21, S22, S23}, {S31, S32, S33}};
FullSimplify[Integrate[(1/(2*Pi*σa*σb))*Exp[-(1/2)*((a.r)^2 + (b.r)^2)]*(1/(2*Pi*σc*σd))*Exp[-(1/2)*((c.r)^2 + (d.r)^2)],
 {r1, -Infinity, Infinity}, {r2, -Infinity, Infinity}, {r3, -Infinity, Infinity},
 Assumptions -> Element[{r1, r2, r3, a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, d3, k1, k2, k3, S11, S12, S13, S21, S22, S23, S31, S32, S33, σa, σb, σc, σd, τ}, Reals] && σa > 0 && σb > 0 && σc > 0 && σd > 0 && τ > 0 && 1 >= a1 >= -1 && 1 >= a2 >= -1 && 1 >= a3 >= -1 && 1 >= b1 >= -1 && 1 >= b2 >= -1 && 1 >= b3 >= -1 && 1 >= c1 >= -1 && 1 >= c2 >= -1 && 1 >= c3 >= -1 && 1 >= d1 >= -1 && 1 >= d2 >= -1 && 1 >= d3 >= -1]]]]

Output:

       ConditionalExpression[
 1/(Sqrt[2 π] √(c3^2 (d2^2 σa^2 σb^2 + (b2^2 \
σa^2 + a2^2 σb^2) σd^2) - 
       2 c2 c3 (d2 d3 σa^2 σb^2 + (b2 b3 σa^2 + 
             a2 a3 σb^2) σd^2) + 
       c2^2 (d3^2 σa^2 σb^2 + (b3^2 σa^2 + 
             a3^2 σb^2) σd^2) + σc^2 ((a3 d2 - 
             a2 d3)^2 σb^2 + 
          b3^2 (d2^2 σa^2 + a2^2 σd^2) - 
          2 b2 b3 (d2 d3 σa^2 + a2 a3 σd^2) + 
          b2^2 (d3^2 σa^2 + 
             a3^2 σd^2))) √((b1^2 c3^2 d2^2 σa^2 \
- 2 b1^2 c2 c3 d2 d3 σa^2 + b1^2 c2^2 d3^2 σa^2 + 
         a3^2 c2^2 d1^2 σb^2 - 2 a2 a3 c2 c3 d1^2 σb^2 +
          a2^2 c3^2 d1^2 σb^2 - 
         2 a3^2 c1 c2 d1 d2 σb^2 + 
         2 a2 a3 c1 c3 d1 d2 σb^2 + 
         2 a1 a3 c2 c3 d1 d2 σb^2 - 
         2 a1 a2 c3^2 d1 d2 σb^2 + 
         a3^2 c1^2 d2^2 σb^2 - 2 a1 a3 c1 c3 d2^2 σb^2 +
          a1^2 c3^2 d2^2 σb^2 + 
         2 a2 a3 c1 c2 d1 d3 σb^2 - 
         2 a1 a3 c2^2 d1 d3 σb^2 - 
         2 a2^2 c1 c3 d1 d3 σb^2 + 
         2 a1 a2 c2 c3 d1 d3 σb^2 - 
         2 a2 a3 c1^2 d2 d3 σb^2 + 
         2 a1 a3 c1 c2 d2 d3 σb^2 + 
         2 a1 a2 c1 c3 d2 d3 σb^2 - 
         2 a1^2 c2 c3 d2 d3 σb^2 + 
         a2^2 c1^2 d3^2 σb^2 - 2 a1 a2 c1 c2 d3^2 σb^2 +
          a1^2 c2^2 d3^2 σb^2 + a3^2 b1^2 d2^2 σc^2 - 
         2 a2 a3 b1^2 d2 d3 σc^2 + a2^2 b1^2 d3^2 σc^2 +
          a3^2 b1^2 c2^2 σd^2 - 
         2 a2 a3 b1^2 c2 c3 σd^2 + a2^2 b1^2 c3^2 σd^2 +
          b3^2 ((a2 d1 - a1 d2)^2 σc^2 + 
            c2^2 (d1^2 σa^2 + a1^2 σd^2) - 
            2 c1 c2 (d1 d2 σa^2 + a1 a2 σd^2) + 
            c1^2 (d2^2 σa^2 + a2^2 σd^2)) + 
         b2^2 ((a3 d1 - a1 d3)^2 σc^2 + 
            c3^2 (d1^2 σa^2 + a1^2 σd^2) - 
            2 c1 c3 (d1 d3 σa^2 + a1 a3 σd^2) + 
            c1^2 (d3^2 σa^2 + a3^2 σd^2)) - 
         2 b1 b2 ((a3 d1 - a1 d3) (a3 d2 - a2 d3) σc^2 + 
            c3^2 (d1 d2 σa^2 + a1 a2 σd^2) + 
            c1 c2 (d3^2 σa^2 + a3^2 σd^2) - 
            c3 (c2 d1 d3 σa^2 + c1 d2 d3 σa^2 + 
               a2 a3 c1 σd^2 + a1 a3 c2 σd^2)) - 
         2 b3 (b2 ((a2 d1 - a1 d2) (a3 d1 - a1 d3) σc^2 - 
               c1 c3 (d1 d2 σa^2 + a1 a2 σd^2) + 
               c1^2 (d2 d3 σa^2 + a2 a3 σd^2) + 
               c2 (c3 d1^2 σa^2 - c1 d1 d3 σa^2 - 
                  a1 a3 c1 σd^2 + a1^2 c3 σd^2)) + 
            b1 ((a2 d1 - a1 d2) (-a3 d2 + a2 d3) σc^2 + 
               c1 c3 (d2^2 σa^2 + a2^2 σd^2) + 
               c2^2 (d1 d3 σa^2 + a1 a3 σd^2) - 
               c2 (c3 d1 d2 σa^2 + c1 d2 d3 σa^2 + 
                  a2 a3 c1 σd^2 + 
                  a1 a2 c3 σd^2))))/(c3^2 (d2^2 σa^2 \
σb^2 + (b2^2 σa^2 + a2^2 σb^2) σd^2) - 
         2 c2 c3 (d2 d3 σa^2 σb^2 + (b2 b3 σa^2 +
                a2 a3 σb^2) σd^2) + 
         c2^2 (d3^2 σa^2 σb^2 + (b3^2 σa^2 + 
               a3^2 σb^2) σd^2) + σc^2 ((a3 d2 - 
               a2 d3)^2 σb^2 + 
            b3^2 (d2^2 σa^2 + a2^2 σd^2) - 
            2 b2 b3 (d2 d3 σa^2 + a2 a3 σd^2) + 
            b2^2 (d3^2 σa^2 + 
               a3^2 σd^2))))), ((b1^2 c3^2 d2^2 σa^2 - 
        2 b1^2 c2 c3 d2 d3 σa^2 + b1^2 c2^2 d3^2 σa^2 + 
        a3^2 c2^2 d1^2 σb^2 - 2 a2 a3 c2 c3 d1^2 σb^2 + 
        a2^2 c3^2 d1^2 σb^2 - 2 a3^2 c1 c2 d1 d2 σb^2 + 
        2 a2 a3 c1 c3 d1 d2 σb^2 + 
        2 a1 a3 c2 c3 d1 d2 σb^2 - 
        2 a1 a2 c3^2 d1 d2 σb^2 + a3^2 c1^2 d2^2 σb^2 - 
        2 a1 a3 c1 c3 d2^2 σb^2 + a1^2 c3^2 d2^2 σb^2 + 
        2 a2 a3 c1 c2 d1 d3 σb^2 - 
        2 a1 a3 c2^2 d1 d3 σb^2 - 
        2 a2^2 c1 c3 d1 d3 σb^2 + 
        2 a1 a2 c2 c3 d1 d3 σb^2 - 
        2 a2 a3 c1^2 d2 d3 σb^2 + 
        2 a1 a3 c1 c2 d2 d3 σb^2 + 
        2 a1 a2 c1 c3 d2 d3 σb^2 - 
        2 a1^2 c2 c3 d2 d3 σb^2 + a2^2 c1^2 d3^2 σb^2 - 
        2 a1 a2 c1 c2 d3^2 σb^2 + a1^2 c2^2 d3^2 σb^2 + 
        a3^2 b1^2 d2^2 σc^2 - 2 a2 a3 b1^2 d2 d3 σc^2 + 
        a2^2 b1^2 d3^2 σc^2 + a3^2 b1^2 c2^2 σd^2 - 
        2 a2 a3 b1^2 c2 c3 σd^2 + a2^2 b1^2 c3^2 σd^2 + 
        b3^2 ((a2 d1 - a1 d2)^2 σc^2 + 
           c2^2 (d1^2 σa^2 + a1^2 σd^2) - 
           2 c1 c2 (d1 d2 σa^2 + a1 a2 σd^2) + 
           c1^2 (d2^2 σa^2 + a2^2 σd^2)) + 
        b2^2 ((a3 d1 - a1 d3)^2 σc^2 + 
           c3^2 (d1^2 σa^2 + a1^2 σd^2) - 
           2 c1 c3 (d1 d3 σa^2 + a1 a3 σd^2) + 
           c1^2 (d3^2 σa^2 + a3^2 σd^2)) - 
        2 b1 b2 ((a3 d1 - a1 d3) (a3 d2 - a2 d3) σc^2 + 
           c3^2 (d1 d2 σa^2 + a1 a2 σd^2) + 
           c1 c2 (d3^2 σa^2 + a3^2 σd^2) - 
           c3 (c2 d1 d3 σa^2 + c1 d2 d3 σa^2 + 
              a2 a3 c1 σd^2 + a1 a3 c2 σd^2)) - 
        2 b3 (b2 ((a2 d1 - a1 d2) (a3 d1 - a1 d3) σc^2 - 
              c1 c3 (d1 d2 σa^2 + a1 a2 σd^2) + 
              c1^2 (d2 d3 σa^2 + a2 a3 σd^2) + 
              c2 (c3 d1^2 σa^2 - c1 d1 d3 σa^2 - 
                 a1 a3 c1 σd^2 + a1^2 c3 σd^2)) + 
           b1 ((a2 d1 - a1 d2) (-a3 d2 + a2 d3) σc^2 + 
              c1 c3 (d2^2 σa^2 + a2^2 σd^2) + 
              c2^2 (d1 d3 σa^2 + a1 a3 σd^2) - 
              c2 (c3 d1 d2 σa^2 + c1 d2 d3 σa^2 + 
                 a2 a3 c1 σd^2 + 
                 a1 a2 c3 σd^2))))/(c3^2 (d2^2 σa^2 \
σb^2 + (b2^2 σa^2 + a2^2 σb^2) σd^2) - 
        2 c2 c3 (d2 d3 σa^2 σb^2 + (b2 b3 σa^2 + 
              a2 a3 σb^2) σd^2) + 
        c2^2 (d3^2 σa^2 σb^2 + (b3^2 σa^2 + 
              a3^2 σb^2) σd^2) + σc^2 ((a3 d2 - 
              a2 d3)^2 σb^2 + 
           b3^2 (d2^2 σa^2 + a2^2 σd^2) - 
           2 b2 b3 (d2 d3 σa^2 + a2 a3 σd^2) + 
           b2^2 (d3^2 σa^2 + a3^2 σd^2))) ∈ 
     Reals && (c3^2 (d2^2 σa^2 σb^2 + (b2^2 σa^2 \
+ a2^2 σb^2) σd^2) - 
        2 c2 c3 (d2 d3 σa^2 σb^2 + (b2 b3 σa^2 + 
              a2 a3 σb^2) σd^2) + 
        c2^2 (d3^2 σa^2 σb^2 + (b3^2 σa^2 + 
              a3^2 σb^2) σd^2) + σc^2 ((a3 d2 - 
              a2 d3)^2 σb^2 + 
           b3^2 (d2^2 σa^2 + a2^2 σd^2) - 
           2 b2 b3 (d2 d3 σa^2 + a2 a3 σd^2) + 
           b2^2 (d3^2 σa^2 + 
              a3^2 σd^2))) (b1^2 c3^2 d2^2 σa^2 - 
        2 b1^2 c2 c3 d2 d3 σa^2 + b1^2 c2^2 d3^2 σa^2 + 
        a3^2 c2^2 d1^2 σb^2 - 2 a2 a3 c2 c3 d1^2 σb^2 + 
        a2^2 c3^2 d1^2 σb^2 - 2 a3^2 c1 c2 d1 d2 σb^2 + 
        2 a2 a3 c1 c3 d1 d2 σb^2 + 
        2 a1 a3 c2 c3 d1 d2 σb^2 - 
        2 a1 a2 c3^2 d1 d2 σb^2 + a3^2 c1^2 d2^2 σb^2 - 
        2 a1 a3 c1 c3 d2^2 σb^2 + a1^2 c3^2 d2^2 σb^2 + 
        2 a2 a3 c1 c2 d1 d3 σb^2 - 
        2 a1 a3 c2^2 d1 d3 σb^2 - 
        2 a2^2 c1 c3 d1 d3 σb^2 + 
        2 a1 a2 c2 c3 d1 d3 σb^2 - 
        2 a2 a3 c1^2 d2 d3 σb^2 + 
        2 a1 a3 c1 c2 d2 d3 σb^2 + 
        2 a1 a2 c1 c3 d2 d3 σb^2 - 
        2 a1^2 c2 c3 d2 d3 σb^2 + a2^2 c1^2 d3^2 σb^2 - 
        2 a1 a2 c1 c2 d3^2 σb^2 + a1^2 c2^2 d3^2 σb^2 + 
        a3^2 b1^2 d2^2 σc^2 - 2 a2 a3 b1^2 d2 d3 σc^2 + 
        a2^2 b1^2 d3^2 σc^2 + a3^2 b1^2 c2^2 σd^2 - 
        2 a2 a3 b1^2 c2 c3 σd^2 + a2^2 b1^2 c3^2 σd^2 + 
        b3^2 ((a2 d1 - a1 d2)^2 σc^2 + 
           c2^2 (d1^2 σa^2 + a1^2 σd^2) - 
           2 c1 c2 (d1 d2 σa^2 + a1 a2 σd^2) + 
           c1^2 (d2^2 σa^2 + a2^2 σd^2)) + 
        b2^2 ((a3 d1 - a1 d3)^2 σc^2 + 
           c3^2 (d1^2 σa^2 + a1^2 σd^2) - 
           2 c1 c3 (d1 d3 σa^2 + a1 a3 σd^2) + 
           c1^2 (d3^2 σa^2 + a3^2 σd^2)) - 
        2 b1 b2 ((a3 d1 - a1 d3) (a3 d2 - a2 d3) σc^2 + 
           c3^2 (d1 d2 σa^2 + a1 a2 σd^2) + 
           c1 c2 (d3^2 σa^2 + a3^2 σd^2) - 
           c3 (c2 d1 d3 σa^2 + c1 d2 d3 σa^2 + 
              a2 a3 c1 σd^2 + a1 a3 c2 σd^2)) - 
        2 b3 (b2 ((a2 d1 - a1 d2) (a3 d1 - a1 d3) σc^2 - 
              c1 c3 (d1 d2 σa^2 + a1 a2 σd^2) + 
              c1^2 (d2 d3 σa^2 + a2 a3 σd^2) + 
              c2 (c3 d1^2 σa^2 - c1 d1 d3 σa^2 - 
                 a1 a3 c1 σd^2 + a1^2 c3 σd^2)) + 
           b1 ((a2 d1 - a1 d2) (-a3 d2 + a2 d3) σc^2 + 
              c1 c3 (d2^2 σa^2 + a2^2 σd^2) + 
              c2^2 (d1 d3 σa^2 + a1 a3 σd^2) - 
              c2 (c3 d1 d2 σa^2 + c1 d2 d3 σa^2 + 
                 a2 a3 c1 σd^2 + a1 a2 c3 σd^2)))) > 
     0) || 2 Abs[
     Arg[(b1^2 c3^2 d2^2 σa^2 - 
         2 b1^2 c2 c3 d2 d3 σa^2 + b1^2 c2^2 d3^2 σa^2 +
          a3^2 c2^2 d1^2 σb^2 - 
         2 a2 a3 c2 c3 d1^2 σb^2 + 
         a2^2 c3^2 d1^2 σb^2 - 
         2 a3^2 c1 c2 d1 d2 σb^2 + 
         2 a2 a3 c1 c3 d1 d2 σb^2 + 
         2 a1 a3 c2 c3 d1 d2 σb^2 - 
         2 a1 a2 c3^2 d1 d2 σb^2 + 
         a3^2 c1^2 d2^2 σb^2 - 2 a1 a3 c1 c3 d2^2 σb^2 +
          a1^2 c3^2 d2^2 σb^2 + 
         2 a2 a3 c1 c2 d1 d3 σb^2 - 
         2 a1 a3 c2^2 d1 d3 σb^2 - 
         2 a2^2 c1 c3 d1 d3 σb^2 + 
         2 a1 a2 c2 c3 d1 d3 σb^2 - 
         2 a2 a3 c1^2 d2 d3 σb^2 + 
         2 a1 a3 c1 c2 d2 d3 σb^2 + 
         2 a1 a2 c1 c3 d2 d3 σb^2 - 
         2 a1^2 c2 c3 d2 d3 σb^2 + 
         a2^2 c1^2 d3^2 σb^2 - 2 a1 a2 c1 c2 d3^2 σb^2 +
          a1^2 c2^2 d3^2 σb^2 + a3^2 b1^2 d2^2 σc^2 - 
         2 a2 a3 b1^2 d2 d3 σc^2 + a2^2 b1^2 d3^2 σc^2 +
          a3^2 b1^2 c2^2 σd^2 - 
         2 a2 a3 b1^2 c2 c3 σd^2 + a2^2 b1^2 c3^2 σd^2 +
          b3^2 ((a2 d1 - a1 d2)^2 σc^2 + 
            c2^2 (d1^2 σa^2 + a1^2 σd^2) - 
            2 c1 c2 (d1 d2 σa^2 + a1 a2 σd^2) + 
            c1^2 (d2^2 σa^2 + a2^2 σd^2)) + 
         b2^2 ((a3 d1 - a1 d3)^2 σc^2 + 
            c3^2 (d1^2 σa^2 + a1^2 σd^2) - 
            2 c1 c3 (d1 d3 σa^2 + a1 a3 σd^2) + 
            c1^2 (d3^2 σa^2 + a3^2 σd^2)) - 
         2 b1 b2 ((a3 d1 - a1 d3) (a3 d2 - a2 d3) σc^2 + 
            c3^2 (d1 d2 σa^2 + a1 a2 σd^2) + 
            c1 c2 (d3^2 σa^2 + a3^2 σd^2) - 
            c3 (c2 d1 d3 σa^2 + c1 d2 d3 σa^2 + 
               a2 a3 c1 σd^2 + a1 a3 c2 σd^2)) - 
         2 b3 (b2 ((a2 d1 - a1 d2) (a3 d1 - a1 d3) σc^2 - 
               c1 c3 (d1 d2 σa^2 + a1 a2 σd^2) + 
               c1^2 (d2 d3 σa^2 + a2 a3 σd^2) + 
               c2 (c3 d1^2 σa^2 - c1 d1 d3 σa^2 - 
                  a1 a3 c1 σd^2 + a1^2 c3 σd^2)) + 
            b1 ((a2 d1 - a1 d2) (-a3 d2 + a2 d3) σc^2 + 
               c1 c3 (d2^2 σa^2 + a2^2 σd^2) + 
               c2^2 (d1 d3 σa^2 + a1 a3 σd^2) - 
               c2 (c3 d1 d2 σa^2 + c1 d2 d3 σa^2 + 
                  a2 a3 c1 σd^2 + 
                  a1 a2 c3 σd^2))))/(c3^2 (d2^2 σa^2 \
σb^2 + (b2^2 σa^2 + a2^2 σb^2) σd^2) - 
         2 c2 c3 (d2 d3 σa^2 σb^2 + (b2 b3 σa^2 +
                a2 a3 σb^2) σd^2) + 
         c2^2 (d3^2 σa^2 σb^2 + (b3^2 σa^2 + 
               a3^2 σb^2) σd^2) + σc^2 ((a3 d2 - 
               a2 d3)^2 σb^2 + 
            b3^2 (d2^2 σa^2 + a2^2 σd^2) - 
            2 b2 b3 (d2 d3 σa^2 + a2 a3 σd^2) + 
            b2^2 (d3^2 σa^2 + a3^2 σd^2)))]] < π]
$\endgroup$
1
  • $\begingroup$ How did you get in actual symbols? $\endgroup$
    – Elliot
    Jun 7, 2014 at 19:11

1 Answer 1

1
$\begingroup$

The answer is that trying to brute force integrate this equation is dumb. If you convert the exponent into tensor form, it is a standard tabulated form for a Multidimensional Gaussian Integral.

$\endgroup$

Your Answer

By clicking “Post Your Answer”, you agree to our terms of service and acknowledge you have read our privacy policy.

Not the answer you're looking for? Browse other questions tagged or ask your own question.