[This is a revision of the original inefficient and largely buggy method I first posted.]
Here is a way to get all the linear polynomials in GF(2)(variables).
polys[vars_] := Module[
{mmonoms, len = Length[vars]},
monoms =
Prepend[Table[
Apply[Times, vars.IntegerDigits[j, 2, len]], {j, 1, 2^len - 1}],
1];
len = Length[monoms];
Table[Total[Pick[monoms, IntegerDigits[j, 2, len], 1]], {j, 0,
2^len - 1}]]
(* {0, 1, x, 1 + x, y, x y, 1 + y, x + y, 1 + x + y, 1 + x y, x + x y,
1 + x + x y, y + x y, 1 + y + x y, x + y + x y, 1 + x + y + x y, z,
x z, y z, x y z, 1 + z, x + z, 1 + x + z, y + z, 1 + y + z,
x + y + z, 1 + x + y + z, x y + z, 1 + x y + z, x + x y + z,
1 + x + x y + z, y + x y + z, 1 + y + x y + z, x + y + x y + z,
1 + x + y + x y + z, 1 + x z, x + x z, 1 + x + x z, y + x z,
1 + y + x z, x + y + x z, 1 + x + y + x z, x y + x z, 1 + x y + x z,
x + x y + x z, 1 + x + x y + x z, y + x y + x z, 1 + y + x y + x z,
x + y + x y + x z, 1 + x + y + x y + x z, z + x z, 1 + z + x z,
x + z + x z, 1 + x + z + x z, y + z + x z, 1 + y + z + x z,
x + y + z + x z, 1 + x + y + z + x z, x y + z + x z,
1 + x y + z + x z, x + x y + z + x z, 1 + x + x y + z + x z,
y + x y + z + x z, 1 + y + x y + z + x z, x + y + x y + z + x z,
1 + x + y + x y + z + x z, 1 + y z, x + y z, 1 + x + y z, y + y z,
1 + y + y z, x + y + y z, 1 + x + y + y z, x y + y z, 1 + x y + y z,
x + x y + y z, 1 + x + x y + y z, y + x y + y z, 1 + y + x y + y z,
x + y + x y + y z, 1 + x + y + x y + y z, z + y z, 1 + z + y z,
x + z + y z, 1 + x + z + y z, y + z + y z, 1 + y + z + y z,
x + y + z + y z, 1 + x + y + z + y z, x y + z + y z,
1 + x y + z + y z, x + x y + z + y z, 1 + x + x y + z + y z,
y + x y + z + y z, 1 + y + x y + z + y z, x + y + x y + z + y z,
1 + x + y + x y + z + y z, x z + y z, 1 + x z + y z, x + x z + y z,
1 + x + x z + y z, y + x z + y z, 1 + y + x z + y z,
x + y + x z + y z, 1 + x + y + x z + y z, x y + x z + y z,
1 + x y + x z + y z, x + x y + x z + y z, 1 + x + x y + x z + y z,
y + x y + x z + y z, 1 + y + x y + x z + y z,
x + y + x y + x z + y z, 1 + x + y + x y + x z + y z, z + x z + y z,
1 + z + x z + y z, x + z + x z + y z, 1 + x + z + x z + y z,
y + z + x z + y z, 1 + y + z + x z + y z, x + y + z + x z + y z,
1 + x + y + z + x z + y z, x y + z + x z + y z,
1 + x y + z + x z + y z, x + x y + z + x z + y z,
1 + x + x y + z + x z + y z, y + x y + z + x z + y z,
1 + y + x y + z + x z + y z, x + y + x y + z + x z + y z,
1 + x + y + x y + z + x z + y z, 1 + x y z, x + x y z, 1 + x + x y z,
y + x y z, 1 + y + x y z, x + y + x y z, 1 + x + y + x y z,
x y + x y z, 1 + x y + x y z, x + x y + x y z, 1 + x + x y + x y z,
y + x y + x y z, 1 + y + x y + x y z, x + y + x y + x y z,
1 + x + y + x y + x y z, z + x y z, 1 + z + x y z, x + z + x y z,
1 + x + z + x y z, y + z + x y z, 1 + y + z + x y z,
x + y + z + x y z, 1 + x + y + z + x y z, x y + z + x y z,
1 + x y + z + x y z, x + x y + z + x y z, 1 + x + x y + z + x y z,
y + x y + z + x y z, 1 + y + x y + z + x y z,
x + y + x y + z + x y z, 1 + x + y + x y + z + x y z, x z + x y z,
1 + x z + x y z, x + x z + x y z, 1 + x + x z + x y z,
y + x z + x y z, 1 + y + x z + x y z, x + y + x z + x y z,
1 + x + y + x z + x y z, x y + x z + x y z, 1 + x y + x z + x y z,
x + x y + x z + x y z, 1 + x + x y + x z + x y z,
y + x y + x z + x y z, 1 + y + x y + x z + x y z,
x + y + x y + x z + x y z, 1 + x + y + x y + x z + x y z,
z + x z + x y z, 1 + z + x z + x y z, x + z + x z + x y z,
1 + x + z + x z + x y z, y + z + x z + x y z,
1 + y + z + x z + x y z, x + y + z + x z + x y z,
1 + x + y + z + x z + x y z, x y + z + x z + x y z,
1 + x y + z + x z + x y z, x + x y + z + x z + x y z,
1 + x + x y + z + x z + x y z, y + x y + z + x z + x y z,
1 + y + x y + z + x z + x y z, x + y + x y + z + x z + x y z,
1 + x + y + x y + z + x z + x y z, y z + x y z, 1 + y z + x y z,
x + y z + x y z, 1 + x + y z + x y z, y + y z + x y z,
1 + y + y z + x y z, x + y + y z + x y z, 1 + x + y + y z + x y z,
x y + y z + x y z, 1 + x y + y z + x y z, x + x y + y z + x y z,
1 + x + x y + y z + x y z, y + x y + y z + x y z,
1 + y + x y + y z + x y z, x + y + x y + y z + x y z,
1 + x + y + x y + y z + x y z, z + y z + x y z, 1 + z + y z + x y z,
x + z + y z + x y z, 1 + x + z + y z + x y z, y + z + y z + x y z,
1 + y + z + y z + x y z, x + y + z + y z + x y z,
1 + x + y + z + y z + x y z, x y + z + y z + x y z,
1 + x y + z + y z + x y z, x + x y + z + y z + x y z,
1 + x + x y + z + y z + x y z, y + x y + z + y z + x y z,
1 + y + x y + z + y z + x y z, x + y + x y + z + y z + x y z,
1 + x + y + x y + z + y z + x y z, x z + y z + x y z,
1 + x z + y z + x y z, x + x z + y z + x y z,
1 + x + x z + y z + x y z, y + x z + y z + x y z,
1 + y + x z + y z + x y z, x + y + x z + y z + x y z,
1 + x + y + x z + y z + x y z, x y + x z + y z + x y z,
1 + x y + x z + y z + x y z, x + x y + x z + y z + x y z,
1 + x + x y + x z + y z + x y z, y + x y + x z + y z + x y z,
1 + y + x y + x z + y z + x y z, x + y + x y + x z + y z + x y z,
1 + x + y + x y + x z + y z + x y z, z + x z + y z + x y z,
1 + z + x z + y z + x y z, x + z + x z + y z + x y z,
1 + x + z + x z + y z + x y z, y + z + x z + y z + x y z,
1 + y + z + x z + y z + x y z, x + y + z + x z + y z + x y z,
1 + x + y + z + x z + y z + x y z, x y + z + x z + y z + x y z,
1 + x y + z + x z + y z + x y z, x + x y + z + x z + y z + x y z,
1 + x + x y + z + x z + y z + x y z, y + x y + z + x z + y z + x y z,
1 + y + x y + z + x z + y z + x y z,
x + y + x y + z + x z + y z + x y z,
1 + x + y + x y + z + x z + y z + x y z} *)
To get higher degrees one might use the Outer approach to get products of pairs, triples, etc.
As for evaluations, Could do e.g. PolynomialMod[pol /. {x->1,y->0,z->1},2]
and it's not hard to cycle through all possible 0-1 combinations for the variables (same idea as what I did to produce the polynomials from monomial lists).
GF[p,q]
which shows the Galois field withp
elements and degreeq
. $\endgroup$