n = 5;
Sum[1/r[j, k]^α, {k, 1, n}, {j, 1, k - 1}]

r[1, 2]^-α + r[1, 3]^-α + r[1, 4]^-α + r[1, 5]^-α + r[2, 3]^-α + r[2, 4]^-α +
r[2, 5]^-α + r[3, 4]^-α + r[3, 5]^-α + r[4, 5]^-α

Alternatively,

Sum[Boole[1 <= j < k <= 5]/r[j, k]^α, {j, 1, n}, {k, 1, n}]

r[1, 2]^-α + r[1, 3]^-α + r[1, 4]^-α + r[1, 5]^-α + r[2, 3]^-α + r[2, 4]^-α +
r[2, 5]^-α + r[3, 4]^-α + r[3, 5]^-α + r[4, 5]^-α

n = 5;
Sum[1/r[j, k]^α, {k, 1, n}, {j, 1, k - 1}]

r[1, 2]^-α + r[1, 3]^-α + r[1, 4]^-α + r[1, 5]^-α + r[2, 3]^-α + r[2, 4]^-α +
r[2, 5]^-α + r[3, 4]^-α + r[3, 5]^-α + r[4, 5]^-α

Alternatively,

Sum[Boole[1 <= j < k <= n]/r[j, k]^α, {j, 1, n}, {k, 1, n}]

r[1, 2]^-α + r[1, 3]^-α + r[1, 4]^-α + r[1, 5]^-α + r[2, 3]^-α + r[2, 4]^-α +
r[2, 5]^-α + r[3, 4]^-α + r[3, 5]^-α + r[4, 5]^-α