# How to obtain a useful answer from integration when Simplify is insufficient?

I have been trying to integrate a function AND get an output that is sufficiently simple as to be usable. Simply using the Simplify and FullSimplify commands has not done nearly enough, and it takes me over 2 hours to get a result from this integration. Are there any further tricks I can use to force further simplifications? Any assumptions I can put in to make it simpler or faster? Maybe get more than one core involved (I have other similar integrals I need to do too so even if I can just set them all running at once on different cores that would be an improvement)?

Be warned, the example output is stupidly long, so much so that it is impossible to read, much less manually simplify.

Input (ai, bi, ci, and di are unit vectors, and so will be replaced with the appropriate cosine later. ki has a value but is still kept track of so the proper cosine can be used later. The cosines are independent of the integration, so it makes it marginally easier to read this way):

r = {r1, r2, r3};
a = {a1, a2, a3}/σa;
b = {b1, b2, b3}/σb;
c = {c1, c2, c3}/σc;
d = {d1, d2, d3}/σd;
k = {k1, k2, k3};
S = {{S11, S12, S13}, {S21, S22, S23}, {S31, S32, S33}};
FullSimplify[Integrate[(1/(2*Pi*σa*σb))*Exp[-(1/2)*((a.r)^2 + (b.r)^2)]*(1/(2*Pi*σc*σd))*Exp[-(1/2)*((c.r)^2 + (d.r)^2)],
{r1, -Infinity, Infinity}, {r2, -Infinity, Infinity}, {r3, -Infinity, Infinity},
Assumptions -> Element[{r1, r2, r3, a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, d3, k1, k2, k3, S11, S12, S13, S21, S22, S23, S31, S32, S33, σa, σb, σc, σd, τ}, Reals] && σa > 0 && σb > 0 && σc > 0 && σd > 0 && τ > 0 && 1 >= a1 >= -1 && 1 >= a2 >= -1 && 1 >= a3 >= -1 && 1 >= b1 >= -1 && 1 >= b2 >= -1 && 1 >= b3 >= -1 && 1 >= c1 >= -1 && 1 >= c2 >= -1 && 1 >= c3 >= -1 && 1 >= d1 >= -1 && 1 >= d2 >= -1 && 1 >= d3 >= -1]]]]


Output:

       ConditionalExpression[
1/(Sqrt[2 π] √(c3^2 (d2^2 σa^2 σb^2 + (b2^2 \
σa^2 + a2^2 σb^2) σd^2) -
2 c2 c3 (d2 d3 σa^2 σb^2 + (b2 b3 σa^2 +
a2 a3 σb^2) σd^2) +
c2^2 (d3^2 σa^2 σb^2 + (b3^2 σa^2 +
a3^2 σb^2) σd^2) + σc^2 ((a3 d2 -
a2 d3)^2 σb^2 +
b3^2 (d2^2 σa^2 + a2^2 σd^2) -
2 b2 b3 (d2 d3 σa^2 + a2 a3 σd^2) +
b2^2 (d3^2 σa^2 +
a3^2 σd^2))) √((b1^2 c3^2 d2^2 σa^2 \
- 2 b1^2 c2 c3 d2 d3 σa^2 + b1^2 c2^2 d3^2 σa^2 +
a3^2 c2^2 d1^2 σb^2 - 2 a2 a3 c2 c3 d1^2 σb^2 +
a2^2 c3^2 d1^2 σb^2 -
2 a3^2 c1 c2 d1 d2 σb^2 +
2 a2 a3 c1 c3 d1 d2 σb^2 +
2 a1 a3 c2 c3 d1 d2 σb^2 -
2 a1 a2 c3^2 d1 d2 σb^2 +
a3^2 c1^2 d2^2 σb^2 - 2 a1 a3 c1 c3 d2^2 σb^2 +
a1^2 c3^2 d2^2 σb^2 +
2 a2 a3 c1 c2 d1 d3 σb^2 -
2 a1 a3 c2^2 d1 d3 σb^2 -
2 a2^2 c1 c3 d1 d3 σb^2 +
2 a1 a2 c2 c3 d1 d3 σb^2 -
2 a2 a3 c1^2 d2 d3 σb^2 +
2 a1 a3 c1 c2 d2 d3 σb^2 +
2 a1 a2 c1 c3 d2 d3 σb^2 -
2 a1^2 c2 c3 d2 d3 σb^2 +
a2^2 c1^2 d3^2 σb^2 - 2 a1 a2 c1 c2 d3^2 σb^2 +
a1^2 c2^2 d3^2 σb^2 + a3^2 b1^2 d2^2 σc^2 -
2 a2 a3 b1^2 d2 d3 σc^2 + a2^2 b1^2 d3^2 σc^2 +
a3^2 b1^2 c2^2 σd^2 -
2 a2 a3 b1^2 c2 c3 σd^2 + a2^2 b1^2 c3^2 σd^2 +
b3^2 ((a2 d1 - a1 d2)^2 σc^2 +
c2^2 (d1^2 σa^2 + a1^2 σd^2) -
2 c1 c2 (d1 d2 σa^2 + a1 a2 σd^2) +
c1^2 (d2^2 σa^2 + a2^2 σd^2)) +
b2^2 ((a3 d1 - a1 d3)^2 σc^2 +
c3^2 (d1^2 σa^2 + a1^2 σd^2) -
2 c1 c3 (d1 d3 σa^2 + a1 a3 σd^2) +
c1^2 (d3^2 σa^2 + a3^2 σd^2)) -
2 b1 b2 ((a3 d1 - a1 d3) (a3 d2 - a2 d3) σc^2 +
c3^2 (d1 d2 σa^2 + a1 a2 σd^2) +
c1 c2 (d3^2 σa^2 + a3^2 σd^2) -
c3 (c2 d1 d3 σa^2 + c1 d2 d3 σa^2 +
a2 a3 c1 σd^2 + a1 a3 c2 σd^2)) -
2 b3 (b2 ((a2 d1 - a1 d2) (a3 d1 - a1 d3) σc^2 -
c1 c3 (d1 d2 σa^2 + a1 a2 σd^2) +
c1^2 (d2 d3 σa^2 + a2 a3 σd^2) +
c2 (c3 d1^2 σa^2 - c1 d1 d3 σa^2 -
a1 a3 c1 σd^2 + a1^2 c3 σd^2)) +
b1 ((a2 d1 - a1 d2) (-a3 d2 + a2 d3) σc^2 +
c1 c3 (d2^2 σa^2 + a2^2 σd^2) +
c2^2 (d1 d3 σa^2 + a1 a3 σd^2) -
c2 (c3 d1 d2 σa^2 + c1 d2 d3 σa^2 +
a2 a3 c1 σd^2 +
a1 a2 c3 σd^2))))/(c3^2 (d2^2 σa^2 \
σb^2 + (b2^2 σa^2 + a2^2 σb^2) σd^2) -
2 c2 c3 (d2 d3 σa^2 σb^2 + (b2 b3 σa^2 +
a2 a3 σb^2) σd^2) +
c2^2 (d3^2 σa^2 σb^2 + (b3^2 σa^2 +
a3^2 σb^2) σd^2) + σc^2 ((a3 d2 -
a2 d3)^2 σb^2 +
b3^2 (d2^2 σa^2 + a2^2 σd^2) -
2 b2 b3 (d2 d3 σa^2 + a2 a3 σd^2) +
b2^2 (d3^2 σa^2 +
a3^2 σd^2))))), ((b1^2 c3^2 d2^2 σa^2 -
2 b1^2 c2 c3 d2 d3 σa^2 + b1^2 c2^2 d3^2 σa^2 +
a3^2 c2^2 d1^2 σb^2 - 2 a2 a3 c2 c3 d1^2 σb^2 +
a2^2 c3^2 d1^2 σb^2 - 2 a3^2 c1 c2 d1 d2 σb^2 +
2 a2 a3 c1 c3 d1 d2 σb^2 +
2 a1 a3 c2 c3 d1 d2 σb^2 -
2 a1 a2 c3^2 d1 d2 σb^2 + a3^2 c1^2 d2^2 σb^2 -
2 a1 a3 c1 c3 d2^2 σb^2 + a1^2 c3^2 d2^2 σb^2 +
2 a2 a3 c1 c2 d1 d3 σb^2 -
2 a1 a3 c2^2 d1 d3 σb^2 -
2 a2^2 c1 c3 d1 d3 σb^2 +
2 a1 a2 c2 c3 d1 d3 σb^2 -
2 a2 a3 c1^2 d2 d3 σb^2 +
2 a1 a3 c1 c2 d2 d3 σb^2 +
2 a1 a2 c1 c3 d2 d3 σb^2 -
2 a1^2 c2 c3 d2 d3 σb^2 + a2^2 c1^2 d3^2 σb^2 -
2 a1 a2 c1 c2 d3^2 σb^2 + a1^2 c2^2 d3^2 σb^2 +
a3^2 b1^2 d2^2 σc^2 - 2 a2 a3 b1^2 d2 d3 σc^2 +
a2^2 b1^2 d3^2 σc^2 + a3^2 b1^2 c2^2 σd^2 -
2 a2 a3 b1^2 c2 c3 σd^2 + a2^2 b1^2 c3^2 σd^2 +
b3^2 ((a2 d1 - a1 d2)^2 σc^2 +
c2^2 (d1^2 σa^2 + a1^2 σd^2) -
2 c1 c2 (d1 d2 σa^2 + a1 a2 σd^2) +
c1^2 (d2^2 σa^2 + a2^2 σd^2)) +
b2^2 ((a3 d1 - a1 d3)^2 σc^2 +
c3^2 (d1^2 σa^2 + a1^2 σd^2) -
2 c1 c3 (d1 d3 σa^2 + a1 a3 σd^2) +
c1^2 (d3^2 σa^2 + a3^2 σd^2)) -
2 b1 b2 ((a3 d1 - a1 d3) (a3 d2 - a2 d3) σc^2 +
c3^2 (d1 d2 σa^2 + a1 a2 σd^2) +
c1 c2 (d3^2 σa^2 + a3^2 σd^2) -
c3 (c2 d1 d3 σa^2 + c1 d2 d3 σa^2 +
a2 a3 c1 σd^2 + a1 a3 c2 σd^2)) -
2 b3 (b2 ((a2 d1 - a1 d2) (a3 d1 - a1 d3) σc^2 -
c1 c3 (d1 d2 σa^2 + a1 a2 σd^2) +
c1^2 (d2 d3 σa^2 + a2 a3 σd^2) +
c2 (c3 d1^2 σa^2 - c1 d1 d3 σa^2 -
a1 a3 c1 σd^2 + a1^2 c3 σd^2)) +
b1 ((a2 d1 - a1 d2) (-a3 d2 + a2 d3) σc^2 +
c1 c3 (d2^2 σa^2 + a2^2 σd^2) +
c2^2 (d1 d3 σa^2 + a1 a3 σd^2) -
c2 (c3 d1 d2 σa^2 + c1 d2 d3 σa^2 +
a2 a3 c1 σd^2 +
a1 a2 c3 σd^2))))/(c3^2 (d2^2 σa^2 \
σb^2 + (b2^2 σa^2 + a2^2 σb^2) σd^2) -
2 c2 c3 (d2 d3 σa^2 σb^2 + (b2 b3 σa^2 +
a2 a3 σb^2) σd^2) +
c2^2 (d3^2 σa^2 σb^2 + (b3^2 σa^2 +
a3^2 σb^2) σd^2) + σc^2 ((a3 d2 -
a2 d3)^2 σb^2 +
b3^2 (d2^2 σa^2 + a2^2 σd^2) -
2 b2 b3 (d2 d3 σa^2 + a2 a3 σd^2) +
b2^2 (d3^2 σa^2 + a3^2 σd^2))) ∈
Reals && (c3^2 (d2^2 σa^2 σb^2 + (b2^2 σa^2 \
+ a2^2 σb^2) σd^2) -
2 c2 c3 (d2 d3 σa^2 σb^2 + (b2 b3 σa^2 +
a2 a3 σb^2) σd^2) +
c2^2 (d3^2 σa^2 σb^2 + (b3^2 σa^2 +
a3^2 σb^2) σd^2) + σc^2 ((a3 d2 -
a2 d3)^2 σb^2 +
b3^2 (d2^2 σa^2 + a2^2 σd^2) -
2 b2 b3 (d2 d3 σa^2 + a2 a3 σd^2) +
b2^2 (d3^2 σa^2 +
a3^2 σd^2))) (b1^2 c3^2 d2^2 σa^2 -
2 b1^2 c2 c3 d2 d3 σa^2 + b1^2 c2^2 d3^2 σa^2 +
a3^2 c2^2 d1^2 σb^2 - 2 a2 a3 c2 c3 d1^2 σb^2 +
a2^2 c3^2 d1^2 σb^2 - 2 a3^2 c1 c2 d1 d2 σb^2 +
2 a2 a3 c1 c3 d1 d2 σb^2 +
2 a1 a3 c2 c3 d1 d2 σb^2 -
2 a1 a2 c3^2 d1 d2 σb^2 + a3^2 c1^2 d2^2 σb^2 -
2 a1 a3 c1 c3 d2^2 σb^2 + a1^2 c3^2 d2^2 σb^2 +
2 a2 a3 c1 c2 d1 d3 σb^2 -
2 a1 a3 c2^2 d1 d3 σb^2 -
2 a2^2 c1 c3 d1 d3 σb^2 +
2 a1 a2 c2 c3 d1 d3 σb^2 -
2 a2 a3 c1^2 d2 d3 σb^2 +
2 a1 a3 c1 c2 d2 d3 σb^2 +
2 a1 a2 c1 c3 d2 d3 σb^2 -
2 a1^2 c2 c3 d2 d3 σb^2 + a2^2 c1^2 d3^2 σb^2 -
2 a1 a2 c1 c2 d3^2 σb^2 + a1^2 c2^2 d3^2 σb^2 +
a3^2 b1^2 d2^2 σc^2 - 2 a2 a3 b1^2 d2 d3 σc^2 +
a2^2 b1^2 d3^2 σc^2 + a3^2 b1^2 c2^2 σd^2 -
2 a2 a3 b1^2 c2 c3 σd^2 + a2^2 b1^2 c3^2 σd^2 +
b3^2 ((a2 d1 - a1 d2)^2 σc^2 +
c2^2 (d1^2 σa^2 + a1^2 σd^2) -
2 c1 c2 (d1 d2 σa^2 + a1 a2 σd^2) +
c1^2 (d2^2 σa^2 + a2^2 σd^2)) +
b2^2 ((a3 d1 - a1 d3)^2 σc^2 +
c3^2 (d1^2 σa^2 + a1^2 σd^2) -
2 c1 c3 (d1 d3 σa^2 + a1 a3 σd^2) +
c1^2 (d3^2 σa^2 + a3^2 σd^2)) -
2 b1 b2 ((a3 d1 - a1 d3) (a3 d2 - a2 d3) σc^2 +
c3^2 (d1 d2 σa^2 + a1 a2 σd^2) +
c1 c2 (d3^2 σa^2 + a3^2 σd^2) -
c3 (c2 d1 d3 σa^2 + c1 d2 d3 σa^2 +
a2 a3 c1 σd^2 + a1 a3 c2 σd^2)) -
2 b3 (b2 ((a2 d1 - a1 d2) (a3 d1 - a1 d3) σc^2 -
c1 c3 (d1 d2 σa^2 + a1 a2 σd^2) +
c1^2 (d2 d3 σa^2 + a2 a3 σd^2) +
c2 (c3 d1^2 σa^2 - c1 d1 d3 σa^2 -
a1 a3 c1 σd^2 + a1^2 c3 σd^2)) +
b1 ((a2 d1 - a1 d2) (-a3 d2 + a2 d3) σc^2 +
c1 c3 (d2^2 σa^2 + a2^2 σd^2) +
c2^2 (d1 d3 σa^2 + a1 a3 σd^2) -
c2 (c3 d1 d2 σa^2 + c1 d2 d3 σa^2 +
a2 a3 c1 σd^2 + a1 a2 c3 σd^2)))) >
0) || 2 Abs[
Arg[(b1^2 c3^2 d2^2 σa^2 -
2 b1^2 c2 c3 d2 d3 σa^2 + b1^2 c2^2 d3^2 σa^2 +
a3^2 c2^2 d1^2 σb^2 -
2 a2 a3 c2 c3 d1^2 σb^2 +
a2^2 c3^2 d1^2 σb^2 -
2 a3^2 c1 c2 d1 d2 σb^2 +
2 a2 a3 c1 c3 d1 d2 σb^2 +
2 a1 a3 c2 c3 d1 d2 σb^2 -
2 a1 a2 c3^2 d1 d2 σb^2 +
a3^2 c1^2 d2^2 σb^2 - 2 a1 a3 c1 c3 d2^2 σb^2 +
a1^2 c3^2 d2^2 σb^2 +
2 a2 a3 c1 c2 d1 d3 σb^2 -
2 a1 a3 c2^2 d1 d3 σb^2 -
2 a2^2 c1 c3 d1 d3 σb^2 +
2 a1 a2 c2 c3 d1 d3 σb^2 -
2 a2 a3 c1^2 d2 d3 σb^2 +
2 a1 a3 c1 c2 d2 d3 σb^2 +
2 a1 a2 c1 c3 d2 d3 σb^2 -
2 a1^2 c2 c3 d2 d3 σb^2 +
a2^2 c1^2 d3^2 σb^2 - 2 a1 a2 c1 c2 d3^2 σb^2 +
a1^2 c2^2 d3^2 σb^2 + a3^2 b1^2 d2^2 σc^2 -
2 a2 a3 b1^2 d2 d3 σc^2 + a2^2 b1^2 d3^2 σc^2 +
a3^2 b1^2 c2^2 σd^2 -
2 a2 a3 b1^2 c2 c3 σd^2 + a2^2 b1^2 c3^2 σd^2 +
b3^2 ((a2 d1 - a1 d2)^2 σc^2 +
c2^2 (d1^2 σa^2 + a1^2 σd^2) -
2 c1 c2 (d1 d2 σa^2 + a1 a2 σd^2) +
c1^2 (d2^2 σa^2 + a2^2 σd^2)) +
b2^2 ((a3 d1 - a1 d3)^2 σc^2 +
c3^2 (d1^2 σa^2 + a1^2 σd^2) -
2 c1 c3 (d1 d3 σa^2 + a1 a3 σd^2) +
c1^2 (d3^2 σa^2 + a3^2 σd^2)) -
2 b1 b2 ((a3 d1 - a1 d3) (a3 d2 - a2 d3) σc^2 +
c3^2 (d1 d2 σa^2 + a1 a2 σd^2) +
c1 c2 (d3^2 σa^2 + a3^2 σd^2) -
c3 (c2 d1 d3 σa^2 + c1 d2 d3 σa^2 +
a2 a3 c1 σd^2 + a1 a3 c2 σd^2)) -
2 b3 (b2 ((a2 d1 - a1 d2) (a3 d1 - a1 d3) σc^2 -
c1 c3 (d1 d2 σa^2 + a1 a2 σd^2) +
c1^2 (d2 d3 σa^2 + a2 a3 σd^2) +
c2 (c3 d1^2 σa^2 - c1 d1 d3 σa^2 -
a1 a3 c1 σd^2 + a1^2 c3 σd^2)) +
b1 ((a2 d1 - a1 d2) (-a3 d2 + a2 d3) σc^2 +
c1 c3 (d2^2 σa^2 + a2^2 σd^2) +
c2^2 (d1 d3 σa^2 + a1 a3 σd^2) -
c2 (c3 d1 d2 σa^2 + c1 d2 d3 σa^2 +
a2 a3 c1 σd^2 +
a1 a2 c3 σd^2))))/(c3^2 (d2^2 σa^2 \
σb^2 + (b2^2 σa^2 + a2^2 σb^2) σd^2) -
2 c2 c3 (d2 d3 σa^2 σb^2 + (b2 b3 σa^2 +
a2 a3 σb^2) σd^2) +
c2^2 (d3^2 σa^2 σb^2 + (b3^2 σa^2 +
a3^2 σb^2) σd^2) + σc^2 ((a3 d2 -
a2 d3)^2 σb^2 +
b3^2 (d2^2 σa^2 + a2^2 σd^2) -
2 b2 b3 (d2 d3 σa^2 + a2 a3 σd^2) +
b2^2 (d3^2 σa^2 + a3^2 σd^2)))]] < π]

-
How did you get in actual symbols? – Elliot Jun 7 '14 at 19:11